حق نسخه‌برداری (کپی رایت)

----------------------توجه: استفاده از مطالب این وبلاگ با ذکر منبع مجاز است.

۱۳۸۹ شهریور ۱۹, جمعه

مدل بلک - شولز چه مشکلی دارد؟ قسمت دوم

هدف از این سلسله پست زیر سوال بردن خاصیت نرمال بودن بازده است که از مدل بلک - شولز استخراج می شود:
«بازده های روزانه در مدل بلک - شولز متغیرهای تصادفی مستقل، نرمال و هم توزیع هستند.»
بنابراین، هدف اصلی این پست، مقایسه ی توزیع بازده های روزانه نمونه هایی از داده، با توزیع نرمال است. روش های به کار برده شده عبارت اند از:

- مقایسه ی اریبی (Skewness) و کشیدگی (Kurtosis)
- مقایسه ی بصری (هیستوگرام و چندک نگار و احتمال نگار)
- آزمون های آماری (کولموگروف - اسمیرنف و شاپیرو - ولک و کرامر - فون میسز و اندرسون - دارلینگ)

داده های به کار برده شده در این نمونه، دو مجموعه از قیمت آخرین معامله در روز دو سهام با نماد RGLD و BWLD از بازار NASDAQ هستند. قیمت ها از ابتدای سپتامبر سال ۲۰۰۹ تا ابتدای سپتامبر سال ۲۰۱۰ به شکل روزانه هستند. تعداد روزهای در نظر گرفته شده، روزهایی است که بازار باز بوده است؛ ۲۵۹. می توانید این داده ها را از سایت گوگل یا یاهو بگیرید و خود این آزمون ها را تکرار کنید. اما به هر حال، در انتها فایل اکسل هر دو سهام را در این پست در معرض دید قرار خواهم داد.
در این پست تنها معیار اریبی و کشیدگی را در نظر می گیریم و سایر معیارها را به پست های بعدی واگذار می کنیم.

مقایسه ی اریبی و کشیدگی

اریبی معیاری برای سنجش تقارن یک توزیع حول مرکز آن (میانگین) است. هر توزیعی که تابع چگالی آن حول مرکز متقارن باشد، اریبی صفر دارد. اگر توزیع نامتقارن باشد، بسته به این که سمت راست یا چپ توزیع، احتمال بیشتری در خود جا داده اند، اریبی منفی است یا مثبت. می دانیم که اریبی توزیع نرمال متقارن و در نتیجه (گشتاور مرتبه ی سوم) صفر است.

اما کشیدگی نسبت تجمع احتمال در مرکز و دم های یک تابع چگالی به شانه های آن است. منظور از دم و شانه و مرکز تابع چگالی، منظور چندان روشنی نیست. اما مثلا یک توصیف شهودی خود از آن این است که دم به آن قسمت از تابع گفته می شود که ورای میانگین + دوبرابر انحراف معیار و میانگین - دوبرابر انحراف معیار قرار دارد. مرکز بین میانگین + انحراف معیار و میانگین منهای انحراف معیار قرار دارد. جایی که باقی می ماند، شانه ی تابع چگالی نامیده می شود.
کشیدگی را با گشتاور مرتبه ی چهارم تقسیم بر واریانس به توان دو اندازه گیری می کنند. با این تعریف، اریبی هر توزیع نرمال صفر است و کشیدگی آن ۳. دقت کنید که در برخی کتاب ها، کشیدگی توزیع نرمال را معیار می گیرند و در نتیجه کشیدگی را به صورت گشتاور مرتبه ی چهارم تقسیم بر واریانس به توان دو منهای ۳ تعریف می کنیم. این تعریف، تعریف متداول تری است و بیشتر نرم افزارهای رایج، (Excel و MatLab) این تعریف را استفاده می کنند. بنابراین برای توزیع نرمال، اریبی و کشیدگی صفر خواهد بود.

برای دو سهام در نظر گرفته شده، میانگین، واریانس، اریبی، و کشیدگی آن در جدول زیر نشان داده شده است.
دقت کنید که BWLD اریبی به سمت راست دارد و کشیدگی آن هم خیلی بیشتر از ۳ است. پس می توان انتظار داشت توزیع آن نرمال نباشد. در عوض، RGLD اریبی و کشیدگی کوچکی دارد. بنابراین ممکن است نرمال باشد.
روش به کار برده شده، برای رد کردن نرمال بودن روش خوبی است. اما معیار دقیقی نمی دهد که اریبی و کشیدگی چقدر بزرگ باشند تا توزیع را نرمال ندانیم. برای رفع این مشکل می توان این معیار را با آزمون فرض به شکلی سنجیده تر عرضه کرد. در این پست از این کار صرف نظر می کنیم. شاید در پست های بعدی دوباره به این نوع نگرش برگردیم.

پ.ن. اول: با عرض معذرت، در جدول بالا کشیدگی به شکل کورتوسیس نوشته شده است. 
پ.ن. دوم: ممکن است پست بعدی از این سلسله، با فاصله ی زمانی زیادی قرار داده شود.

هیچ نظری موجود نیست:

ارسال یک نظر