حق نسخه‌برداری (کپی رایت)

----------------------توجه: استفاده از مطالب این وبلاگ با ذکر منبع مجاز است.

۱۳۸۹ مهر ۲۵, یکشنبه

روش های مونت کارلو در فایننس- شبیه سازی مدل های تصادفی

نوشتن یک پست در مورد روش مونت کارلو کاری بسیار سخت است. مخصوصا که حاوی فرمول ریاضی نباشد. دامنه ی روش های مونت کارلو بسیار وسیع است و حتی نام بردن جاهایی که از روش مونت کارلو استفاده می شود از عهده ی من خارج. در این پست سعی خواهم کرد که به خواننده در مورد روش های مونت کارلو دیدی کلی بدهم و کمی هم راجع به کاربردهای و مزیت استفاده از آن در فایننس بنویسم. حتما مطالب بسیاری خواهید یافت که در این پست پوشش داده نمی شود. اما امیدوارم روح کلی روش های مونت کارلو در این پست منعکس شود.
روش های مونت کارلو روش هایی است که کمیتی را با استفاده از تخمین امید یک یا چند متغیر تصادفی «مجازی» محاسبه می کند. استفاده از لغت «مجازی» تاکید بر این نکته است که متغیرهای تصادفی به کار رفته لزوما مفهوم عملی خاصی ندارند. مثلا در روش مونت کارلو برای تخمین قیمت یک قرارداد در فایننس، ممکن است از متغیرهایی استفاده کنید که هیچ مفهوم اقتصادی یا فایننسی ندارند. اما لزومی ندارد که همیشه این طور باشد. گاهی هم متغیر تصادفی به کار رفته متناظر با کمیتی با مفهوم است. تاکید ما بر این است که لزومی ندارد متغیرهای تصادفی به کار رفته، مفهومی داشته باشند. مثلا تخمین میانگین یک مجموعه از داده ی یک بعدی به هیچ وجه روش مونت کارلو به حساب نمی آید؛ مثلا قد افرادی را از یک جامعه اندازه می گیریم و می خواهیم از روی آن میانگین قد در جامعه را حساب کنیم. در حالی که استفاده از یک مجموعه از داده های توام برای محاسبه ی میانگین یکی از آن ها را می توان روش مونت کارلو نامید. مثلا می دانیم که قد و وزن با هم همبستگی دارند. اگر داده ای متشکل از زوج قد و وزن داشته باشیم، می توانیم به استفاده از همبستگی این دو، میانگین قد جامعه را دقیق تر محاسبه کنیم. این دومی را می توان با مقداری اغماض یک روش مونت کارلو نامید. (گر چه شاید به دلیل واقعی بودن داده ها، می تواند بحث برانگیز باشد.)
اگر روش مثال بالا را مونت کارلو بدانیم، بسیاری از روش های مونت کارلو مانند روش بالایی نیستند و متغیرهای به کار رفته در آن ها نه داده واقعی هستند و نه کمیتی را توصیف می کنند. متغیرهای به کار رفته گاهی از مدل تصادفی که استفاده کردیم نشات می گیرند. اما لزومی ندارد که این طور باشد. بیشتر روش های مونت کارلو از شبیه سازی متغیرهای تصادفی استفاده می کنند و نه از داده های گرفته شده از یک جامعه ی آماری. شبیه سازی متغیرهای تصادفی استفاده از کامپیوتر برای تولید اعدادی است که از نظر آماری مستقل و هم توزیع با توزیع خاصی هستند، البته نه به این کلیت. گاهی دنباله ای از اعداد که خواص ذکر شده را ندارند، به تخمین دقیق تری منجر می شوند. هدف اصلی درست بودن تخمین است و نه مستقل بودن اعداد تولید شده.
روش های مونت کارلو در فایننس اولین بار توسط فلیم بویل در 1977 در مقاله ی مشهور
Phelim Boyle, Options: A Monte Carlo Approach, Journal of Financial Economics (1977) 323-338
پیشنهاد شد. بسیاری از روش هایی که در این مقاله و پس از آن استفاده شد، روش هایی تازه نبود، بلکه استفاده از آن در فایننس کاری جدید به حساب می آمد. فلیم پس از آن هم کارهای زیادی در این زمینه انجام داد. یک کتاب خوب در این زمینه کتاب 
Paul Glasseman, Monte Carlo methods in financial engineering (2003), Springer
است. این کتاب بسیار جامع و حاوی مطالب فراوان است. بیشتر کتاب مرجع است تا یک کتاب درسی. با وجود این که خود من مطالب زیادی از این کتاب آموختم، اما به عنوان یک کتاب مختصر و مفید آن را توصیه نمی کنم. اگر فرانسه بلد باشید، جزوه ی درسی زیر را برای مطالعه و آشنایی با روش های مونت کارلو در فایننس توصیه می کنم.
روش های دیگری که در فایننس غیر از روش مونت کارلو استفاده می شود، روش های عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی است؛ مثل تفاضلات متناهی یا اجزاء متناهی. هر کدام به نوبه ی خود مزایا و مضراتی دارند. مثلا شاید اگر بخواهید یک اختیار اروپایی خرید (مارکف) را روی یک دارایی قیمت گذاری کنید، بهتر است از روش عددی برای حل معادلات استفاده کنید تا روش مونت کارلو. حال آن که با افزایش تعداد دارایی ها، روش های عددی معادلاتی قابل پیاده سازی نخواهند بود و عملا روش مونت کارلو خود را تحمیل می کند. اگر اختیار خرید امریکایی یا اختیار پس نگر (Look Back Option) و یا اختیار مانع دار (Barrier Option) داشته باشیم، هرگز نمی توان از روش عددی معادلاتی استفاده کرد. چرا که خاصیت مارکفی از دست می رود. در مورد قراردادهای نام برده شده، باز هم روش مونت کارلو تنها راه قیمت گذاری است؛ به جز موارد خاص که فرمول تحلیلی به دست می آید. حتی زمانی که بخش زیادی از کار به شکل تحلیلی انجام می شود، آخر سر یک مونت کارلوی ساده استفاده می شود. در غیر این صورت، روش های مونت کارلوی پیچیده تری به کار می آیند.
روش های مونت کارلو عمدتا بر مبنای محاسبه ی امید ریاضی هستند؛ نکته ای اساسی که باعث تنوع فراوان در روش های مونت کارلو  می شود. بسته به بعد مساله،  تخمین گر مناسب برای محاسبه ی امید ریاضی متفاوت خواهد بود. عمدتا روش هایی که امروز به کار می رود، برمبنای استفاده از تخمین گر های آماری معمول به علاوه ی روش های کاهش واریانس برمبنای نمونه گیری ترجیحی (Importance sampling) یا متغیر کنترل (Control variate) و یا پادمسیرها (Antithetic paths) است. گاهی هم روش های پیچیده تر مانند رگرسیون غیرخطی، روش های کرنل و حسابان ملیاوان بهتر جواب می دهند.
در آخر لیستی از مراجعی که می توانند خواننده را در یادگیری این روش ها کمک کند، ارائه می کنم.


F. Longstaff and E. Schwartz: Valuing American options by simulation: A simple least-squares, Review of Financial Studies, 1(14), 113-147, 2001.
E. Fournier, J.-M. Lasry, J. Lebuchoux, P.-L. Lions and N. Touzi: Applications of Malliavin calculus to Monte Carlo methods in finance, Finance and Stochastics, 3, 391-412, 1999.

E. Fournier, J.-M. Lasry, J. Lebuchoux and P.-L. Lions: Applications of Malliavin calculus to Monte Carlo methods in finance II, Finance and Stochastics, 5, 201-236, 2001.
G. Pag es, H. Pham, J. Printems: Optimal quantization methods and applications to numerical problems in finance, Handbook on Numerical Methods in Finance (S. Rachev, ed.), Birkhauser, Boston, 253-298, 2004.
E. Gobet: Revisiting the Greeks for European and American options, Proceedings of the "International Symposium on Stochastic Processes and Mathematical Finance" at Ritsumeikan University, Kusatsu, Japan, 2003.
B. Bouchard, I. Ekeland and N. Touzi: On the Malliavin approach to Monte Carlo approximation of conditional
expectations, Finance and Stochastics, 8(1), 45-71, 2004.
Bruno Bouchard a and Xavier Warin: Monte-Carlo valorisation of American options: facts and new algorithms to improve existing methods, Preprint.




پ.ن.: شاید سخت باشد چیزی به خوبی جزوه ای که معرفی کردم، یافت. اما  اگر بگردید حتما پیدا می کنید. من شخصا چون نیازی به گشتن نداشتم، نگشتم.

هیچ نظری موجود نیست:

ارسال یک نظر