حق نسخه‌برداری (کپی رایت)

----------------------توجه: استفاده از مطالب این وبلاگ با ذکر منبع مجاز است.

۱۳۸۹ آذر ۲۶, جمعه

ادامه تحصیل در دکتری ریاضی مالی

در یک دو هفته ی اخیر، چند ایمیل از دانشجویان آنالیز عددی دریافت کردم که قصد ادامه ی تحصیل در رشته ی ریاضی مالی در مقطع دکتری داشتند. بنابراین تصمیم گرفتم که یک پست هم راجع به ادامه ی تحصیل در مقطع دکتری در رشته ی ریاضی مالی بنویسم. ذکر این نکته ضروری است که به طور طبیعی توضیحات من به سمت تجربیات شخصی خودم اریب است.
ریاضیات مالی به شکل سنتی از احتمال و آنالیز تصادفی منشعب شده است. پدر ریاضیات مالی لویی بشولیه (Louis Bacholier) این ایده را مطرح کرد که تغییر قیمت سهام تنها از یک قانون پیروی می کند که همان قانون احتمال است. تکامل این دیدگاه بود که منجر به پیدایش ریاضیات مالی با تمرکز بر قیمت گذاری ابزار مشتقه ی مالی شد. به طور عمومی تر، می توان آن را ریاضیات قیمت گذاری ریسک های مالی نامید. بنابراین، اساسی ترین دانش مورد نیاز، نظریه ی احتمال و فرایندهای تصادفی است.
اگر کمی با فرایندهای تصادفی و احتمال آشنا باشید، در خواهید یافت که تکنیک های به کار برده شده برای شناخت فرایندهای تصادفی بسیار آنالیزی است، به همین دلیل نام این شاخه را آنالیز تصادفی می گذارند. بنابراین، آنالیز تصادفی و به طور خاص معادلات دیفرانسیل تصادفی نقش اساسی در ریاضیات مالی دارند.
یکی از این تکنیک ها از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی استفاده می کند که به عنوان یک رهیافت محاسباتی در ریاضی مالی از آن استفاده می شود، تکنیک های مونت کارلو نیز به هم چنین. یک نکته ی مهم این که تقریبا نمی توانید کسی را بیابید که یکی از این ها را بلد باشد و از بقیه چیزی نداند. تمام دانش به کار رفته طوری به هم پیوند خوردند که برای انجام کار جدی در یکی، نیاز پیدا خواهید کرد که بقیه را هم یاد بگیرید.
قیمت گذاری ریسک های مالی مهم است اما یافتن روش هایی که این ریسک ها را کم یا خنثی کند از آن هم مهم تر است. اگر شما ریسکی را قیمت گذاری کنید ولی روشی برای فرار از آن نیابید، مشکلی را حل نکرده اید. بنابراین، ریسک زدایی (hedging) بسیار مهم است. برای این کار هم رویکردهای فراوان وجود دارد. اما به ضرس قاطع تمامی این روش ها به شدت به احتمال و آنالیز تصادفی وابسته هستند.
نکته ی دیگر این که اغلب تصور می شود که ریاضی مالی شاخه ای از ریاضی اقتصاد است. اما این تصور به شدت غلط است. ریاضی اقتصاد عمدتا نشات گرفته از نظریه ی تعادل عمومی است، در حالی که ریاضی مالی با همان روحی که بشولیه در آن دمید، حیات یافت و بعدا از نظریه ی عدم آربیتراژ به تکامل رسید، نظریه ای که هیچ ربطی به تعادل عمومی ندارد و قیمت ریسک های مالی را از راهی دیگر به دست می دهد. برای دانستن ریاضیات مالی، نیازی نیست که اقتصاد خرد یا کلان بلد باشید. بلکه لازم است درک عمیقی از احتمال و آنالیز تصادفی، اوراق مشتقه ی مالی و ریسک های مالی داشته باشید.
اما خوب، ریاضی مالی اشتراکاتی هم با اقتصاد دارد، مثلا اقتصادسنجی و آمار. هرجا که نیاز باشد پارامترهای مدلی را از روی  داده ها تخمین زد، آمار ظاهر می شود و هر جا که داده ها به زمان وابسته باشند، سری ها زمانی ظاهر می شوند. بخش عظیمی از دانش ما از سری های زمانی برای پاسخ به نیازهای اقتصاد به وجود آمده است، مثلا مدل های معروف ARCH و GARCH که شایسته ی جایزه ی نوبل اقتصاد شناخته شدند. اتفاقا اقتصادسنجی مالی یکی از رشته های فعال در ریاضیات مالی است.
گرایش های جدیدی که این روزها بسیار پرطرفداراند، داده کاوی و معامله ی با فرکانس بالا هستند. بیشتر کسانی می توانند روی این ها کار کنند که در علوم کامپیوتر تبحر داشته باشند تا ریاضی. در حقیقت این روزها بانک ها دیگر مثل گذشته ریاضی دان صرف استخدام نمی کنند بلکه ریاضی دانانی را به خدمت می گیرند که C++ developer حرفه ای باشند.
 برای آن دوستانی که تمایل دارند برای دکتری از آنالیز عددی به ریاضیات مالی و آن هم در خارج ایران تغییر رشته دهند، توصیه می کنم که یک دوره ی احتمال و آنالیز تصادفی بگذرانند. اگر امکان آن در ایران فراهم نیست، لازم است یک دوره ی ارشد دیگر در خارج از کشور بگذرانند. آنالیز عددی در ریاضیات مالی در جایی ظاهر می شود که در هر رشته ی کاربردی دیگر ممکن است ظاهر شود و دانستن آن به تنهایی کسی را برای ادامه تحصیل در ریاضی مالی از دیگران برجسته تر نمی کند، اما آنالیز تصادفی و احتمال این کار را می کند.

۸ نظر:

  1. perfect!

    However I think No Arbitrage assumption holds when market is equilibrium.

    پاسخحذف
  2. Hirbod jan,
    Do you have any proof? As, I know people have tried the inverse which seems simpler: derivation of general equilibrium model from no arbitrage.

    پاسخحذف
  3. I was supposed that it is easy, naturaly if there is an Arbitrage then it is in high demand,obviousely everybody would like to be payed for free in a market without any friction, so it may violate the equilibrium under the law of supply and demand , or ...That is what I was thinking about

    پاسخحذف
  4. It's just the first intuition. However, general equilibrium model have not anything to do with the so called "asymmetry of information" which plays an important role in creation of arbitrage.

    پاسخحذف
  5. Very interesting point, this appears naturaly in my works when I study Good Deals,as extension of Arbitrage. CAn you justify more ...I need more information, however I see an abvious relation, indeed I need a formal point

    پاسخحذف
  6. The idea is as follows. Arbitrage happens under the asymmetry of information. The one whose filtration is bigger than the market's, starts trading arbitrage opportunity. But, as he trades, new prices are quoted in the market and then by EMH, those trades contribute on the market new information. Finally, his information is trans-passed into market through his trade activities. It is based on the EHM not GE.
    I am not expert in the subject, so there is a gap about how the information becomes symmetric as the arbitrageur start trade.
    Is such a thing discussed in good deal theory?

    پاسخحذف
  7. Not yet, I am afraid so. But I can explain in my works how a Good Deal will appear in imperfect information.

    پاسخحذف
  8. We should first unify our notions of asymmetry of information. I mean one trader has a filtration strictly bigger than the market.

    پاسخحذف