تعریف امید ریاضی

شاید تمامی خوانندگان این وبلاگ، تعریف امید ریاضی را حداقل در یکی از درس‌های کارشناسی خود دیده باشند. آن‌هایی که درس‌های پیشرفته‌ای نظیر نظریه‌ی احتمال یا آنالیز تصادفی گذرانده‌اند، می‌دانند که ارائه‌ی تعریفی کلی از امید ریاضی وابسته به تعریف انتگرال روی یک اندازه است و بدون آن میسر نیست. بسیاری از مفاهیم احتمال که در دروس مقدماتی ارائه می‌شود بر پایه‌ی تعریف امید ریاضی است. پس چگونه در درس‌های مقدماتی کار پیش می‌رود؟

اگر به جزوه یا کتاب درسی خود مراجعه کنید، می‌بینید که متغیر‌های تصادفی در دو سرفصل متغیرهای تصادفی گسسته و پیوسته معرفی شده است. امید ریاضی برای هر کدام از متغیر‌های تصادفی گسسته و پیوسته به طور جداگانه تعریف شده است. راستش را بخواهید خیلی ساده نیست که در یک درس مقدماتی امید ریاضی را در حالت کلی تعریف کرد. به همین دلیل است که مافیای احتمال هیچ گاه سخن از تعریف امید ریاضی متغیر تصادفی که نه گسسته باشد و نه پیوسته نمی‌کنند. دی:

این‌ها با ارائه‌ی دو تعریف ساده و شهودی برای متغیرهای تصادفی پیوسته و گسسته، همه چیز را ماست مالی می‌کنند ولی اگر در مثال‌ها و تمرینات این درس‌ها دقیق شوید، می‌بینید که مثال‌هایی وجود دارد که متغیرهای تصادفی آن‌ها نه گسسته هستند و نه پیوسته. مثلا جمع یک متغیر تصادفی پیوسته و گسسته، به کرات در مثال‌های کتب درسی ظاهر می‌شود. در این حالت، قواعد امید ریاضی به خدمت گرفته می‌شوند، بدون این که در حالت کلی ثابت شده باشند. مثلا خاصیت خطی بودن امید ریاضی را در حالت گسسته و پیوسته به طور جداگانه ثابت می‌کنند اما آن را برای متغیرهای  تصادفی دیگر هم به کار می‌برند.

یک راه پیشنهادی این است که برای برخی از این متغیرهای ناگسسته و ناپیوسته، از جمله جمع یک گسسته و یک پیوسته، امید ریاضی را با استفاده از توابع توزیع توام و توابع چگالی توام تعریف کرد. این هم یکی از راه‌های رسیدن به تعریف 

گسترده‌تری برای امید ریاضی است. اما این راه به دلیل این که مشکل چندانی را حلی نمی‌کند، توصیه نمی‌شود.

بهتر است دانشجویان، کمتر چیزهای عجق وجق ببینند ولی آگاه باشند که واقعیت فراتر از این‌هایی است که می‌بینند.

شهود گاهی درجا می‌زند.

هفته‌ی گذشته در ساعات مراجعه، دانشجویان زیادی برای پرسیدن سوالات‌شان پیش من آمدند. دو مورد از سوالاتی که بچه‌ها به کرات پرسیدند، سوالاتی بود که حل کرده بودند، ولی جوابی که به دست آورده بودند با شهودشان سازگار نبود. بنابراین، کمی شک کردند یا به عبارت دیگر جواب را باور نکردند.

مورد اول در مورد توزیع هندسی بود. فرض کنید که سکه‌ی سالمی را این قدر پرتاب می‌کنید تا شیر بیاید. مطلوب است احتمال این که این اتفاق با تعداد زوج پرتاب رخ دهد. طبیعی است که با محاسبه به جواب ۲/۳ می رسیم. اما شهود بچه‌ها این بود که رخ دادن این اتفاق با تعداد فرد یا تعداد زوج احتمال مساوی دارد و بنابراین باید جواب ۱/۲ باشد. 

مورد دوم راجع به قدم زدن تصادفی ساده (غیر متقارن)ای بود که از نقطه‌ی صفر شروع می‌شد و برای اولین بار در زمان n به نقطه‌ی صفر باز می‌گشت. بچه‌ها عمدتا در محاسبه‌ی احتمال این که تمام این مدت را در سمت منفی سپری کند مشکل داشتند. چون فکر می کردند به دلیل نا متقارن بودن قدم زدن تصادفی، احتمال سپری کردن این مدت در سمت منفی  با احتمال سپری کردن این مدت در سمت  مثبت فرق دارد. در حالی که این دو پیش‌آمد هم احتمال هستند.

خلاصه، این که شهود گاهی درجا می زند. خصوصا اگر تجربه کافی نباشد.

روز پرکار

امروز دومین سخنرانی از سه سخنرانی که قرار است برای دانشگاه میشیگان ارائه کنم را تمام کردم. بعد از سه ساعت متوالی تدریس، یک سخنرانی یک ساعته نباید دیل بیگی باشد. اما به هر حال آماده کردن اسلاید و غیراسلاید وقت و انرژی می‌گیرد. الان بدنم گرم است و خستگی را نمی‌فهمم. ولی عقلا باید خیلی خسته و کوفته باشم. امروز هم کلاس‌های درس را خوب اداره کردم، و هم از پس سخنرانی برآمدم.

در کلاس نظریه‌ی احتمال می‌خواستم مخ بچه‌ها را سنباده بکشم. طوری وانمود کردم که انگار در محاسبه‌ی یک انتگرال برای یافتن میانگین توزیع نرمال استاندارد که صفر است، گیر کرده‌ام. اما در واقع گیر نکرده بودم. این قدر قضیه را کش دادم که یکی از بچه‌ها گفت بابا تابع فرد است دیگر و انتگرال آن صفر. بعد گفتم ممنون و یک صفر نوشتم جلوی انتگرال. بعد رفتم سراغ محاسبه‌ی میانگین توزیع کشی که میانگین ندارد. اما وقتی انتگرال مربوط به آن را می‌نویسیم، تابع داخل انتگرال فرد است. دوباره بچه‌ها گفتند جواب صفر است! و من مثل داوری که گلی را آفساید اعلام کرده، گفتم: WRONG!

بعد قضیه‌ی انتگرال‌های ناسره را یادآوری کردم و اشکال کار را گوشزد کردم. از این که با این حیله موفق شدم توجه کلاس را به درس جلب کنم، کلی به خودم افتخار کردم!:)

کمپانی تولید رشته‌های اجغ وجغ

تخصص آقای دکتر الف و دکتر ب چیزهایی غیر از احتمال و ریاضیات کاربردی است. برای این که به کسی بر نخورد یکی را متخصص روانشناسی و دیگری را متخصص جانورشناسی در نظر بگیرید.
آقای دکتر الف: رشته‌ی ریاضی مالی الان تو دنیا رو بورسه. ما هم باید در دانشگاهمون این رشته رو راه بندازیم.
آقای دکتر ب: حتما حتما!
ده سال بعد:

آقای دکتر الف: رشته‌ی آمارزیستی خیلی رو بورسه. ما هم باید در دانشگاهمون این رشته رو داشته باشیم.

آقای دکتر ب: حتما حتما!

ده سال بعد اون:

آقای دکتر الف: رشته‌ی ریاضیات اجتماعی الان تو دنیا رو بورسه. ما هم باید در دانشگاهمون این رشته رو راه بندازیم.

آقای دکتر ب: حتما حتما!

ده سال بعد:

متخصصان ریاضی مالی سر از آسایشگاه روانی در می‌آورند البته نه به عنوان مریض بلکه به عنوان روان‌پزشک، متخصصین آمار زیستی سر از باغ وحش نه بعنوان آماردان بلکه به عنوان پزشک حیوانات، و البته متخصصین ریاضیات اجتماعی به دلیل بی‌کاری جلوی پارلمان تجمع می‌کنند، کاری که به ترتیب ده سال پیش و بیست سال پیش متخصصین ریاضی مالی و آمار زیستی کرده بودند.

آقایان دکتر الف و ب هم بازنشسته شده اند و دارند با کارهایی که کردند حال می‌کنند .

کمیک‌های دکتری

سایت پی‌اچ‌دی کمیکس سال‌هاست که کمیک استریپ‌هایی راجع به قشر مستضعف دانشجویان دکتری عرضه می‌کند. وقتی دانشجوی دکتری بودم، اصلا به نظرم خنده‌دار نبود. چون دوست نداشتم کسی به بدبختی‌های خودم بخندد. الان به نظرم خیلی خنده‌دار می‌آید!

سری اول تمرینات

چند روز پیش سری اول تمرینات دروس این ترم را روی وب گذاشتم. تو یکی از کلاس‌ها از بچه‌ها پرسیدم که آیا تمرین‌ها رو دیدن یا نه و این که تمرینات را چه طور می بینن؟ یکی دو نفر که دیده بودن گفتن Terrible.
خوب سوال باید سخت باشه که دانشجو چیز یاد بگیره. مگه نه؟

نظریه‌ی احتمال و فرایندهای تصادفی گسسته

عنوان این پست عنوان دو درسی است که در دانشگاه میشیگان آن‌آربر می‌دهم. درس نظریه‌ی احتمال قرار است که درسی پیشرفته در احتمال باشد که ریاضیات دقیق‌تری نسبت به درس احتمال کارشناسی استفاده می‌کند. در تعریف این درس ذکر شده که دانشجویانی که این درس را می‌گیرند آمیزه‌ای از دانشجویان تحصیلات تکمیلی و کارشناسی هستند. بخش زیادی از درس احتمال کارشناسی دانشگاه میشیگان به محاسبات ترکیبیاتی احتمال اختصاص دارد. اما قرار است درس نظریه‌ی احتمال، احتمالاتی‌تر باشد. گرچه از نظریه‌ی اندازه استفاده نمی‌شود، اما چیزهایی نظیر سیگما-میدان پیش‌آمدها و تعریف دقیق متغیر تصادفی در آن مطرح می‌شود. به علاوه، قضایای حدی (Limit Theorems) و زنجیرهای مارکف هم در آن درس داده می‌شود. در کلاس من از دانشجوهای لیسانس ریاضی حضور دارند تا دانشجویان ارشد و دکتری رشته‌هایی نظیر اقتصاد، فایننس، فیزیک و برق.

درس دوم اما حال و هوای دیگری دارد. از قدم زدن تصادفی شروع می‌شود و فرایند‌های مارکف زمان پیوسته را بررسی می‌کند. بعد می‌رود سراغ فرایند پواسن و مشتقات آن و سپس فرایندهای مانا و نظریه‌ی صف و دست آخر مارتینگل و حرکت براونی و لم ایتو. عجیب است که چرا اسم این درس فرایند‌های گسسته است.

و اما آدم‌های سر کلاس اکثر چینی هستند و بقیه اقلیت. اقلیت‌ها هم نصف‌شان قیافه‌ی چینی دارند که نشان می‌دهد از نسل چینی‌ها هستند. آن نصف دیگر هم بین بقیه‌ی ملیت‌ها تقسیم شده است.

روش درس دادن من روش بسیار ساده‌ و ابتدایی است. رئوس مطالب درس  اعم از قضیه و نتیجه و مثال و... را به شکل اسلاید آماده می‌کنم. سعی می‌کنم اصلی‌ترین مطالب را در اسلاید‌ها قرار دهم و جزئیات را نه. سپس، مطالب را به ترتیبی که قبلا در نظر گرفته‌ام در اسلاید‌ها مرتب می‌کنم. بعد سر کلاس صورت قضایا یا نتایج یا مثال‌ها یا...  را از روی اسلاید توضیح می‌دهم و جزئیات را روی تخته بیان می‌کنم. یک نکته‌ی مهم در استفاده از اسلاید این است که نباید محتوای هر اسلاید زیاد باشد. باید دانشجو با یک نظر آن را بخواند. در غیر این صورت، دانشجو مشغول نگاه به اسلاید می‌شود و درس را فراموش می‌کند.

معمولا وقتی نوبت اثبات می‌شود، سعی می‌کنم دانشجویان فکرکنند من اثبات‌ها و راه‌حل‌ها را نمی‌دانم و برای انجام آن‌ها تنها ایده‌ای دارم. به این شکل، آن‌ها انتظار نوشتن یک چیز شسته و رفته را ندارند. سپس سعی می‌کنم ایده‌ی خود را بنویسم و از آن‌ها بخواهم کمکم کنند تا ایده تکمیل شود. آن‌ها هم که از همه جا بی‌خبر هستند،  شروع می‌کنند با دقت ببینند که سرانجام کار چه می‌شود.

قرار است تکالیف سختی به بچه ها داده شود اما برای حل تکالیف می‌توانند در ساعات تعیین شده به دفترم مراجعه کنند و راهنمایی بخواهند. به این شکل به آن‌ها کمک می‌شود که حل کردن تمرینات را یاد بگیرند. به دانشجویان اکیدا توصیه کردم که با هم در حل تکالیف با هم همکاری کنند. از طرف دیگر بنا ندارم امتحان سختی بگیرم. دوست ندارم دانشجو از استرس امتحان دق کند.

راستش امروز یک چیزی را مخصوصا غلط نوشتم، کسی نفهمید و کمی ناامید شدم و خودم درستش کردم. اما دو دقیقه بعد یکی از دانشجویان اشتباه دیگری را تذکر داد و امیدم برگشت. ظاهر کلاس نشان می‌دهد که دانشجویان در زمان کلاس درگیر درس هستند. هفته‌ی آینده منتظر مراجعات زیادی برای راهنمایی حل تکالیف هستم.

تجربه چند روزه

دو کشور همسایه با الگوی فرهنگی کم و بیش مشابه. کانادا و آمریکا. یک فرق اساسی: مردم کانادا عموما به شدت مودب‌تر از مردم آمریکا هستند؛ به شدت!

صرفه جویی

با رسیدن زمستان، داستان همیشگی کمبود گاز و افزایش مصرف آن تکرار می شود. در این میان تفاوت میان امسال با سال آینده این است که گاز امسال گران‌تر است. اگر قیمت گاز آن قدر گران باشد که فشارمحسوسی به خانوارها وارد شود، خانوارها به فکر استفاده از روش‌های بهینه‌سازی مصرف سوخت مثل عایق کردن پنجره‌ها و ... می افتند. اگر آن قدر گران نباشد، قید بهینه سازی را می زنند. چرا که هزینه‌های بهینه سازی آن قدر هم کم نیست. در این میان نقش وام‌های نوسازی خانه می‌تواند تعیین کننده باشد. اگر خانوارها بتوانند هزینه‌ی عایق سازی خانه‌هایشان را با وام بانکی تامین کنند، بدون شک به سراغ این کار می روند. در این صورت مصرف گاز در زمستان‌ها کاهش چشم‌گیری خواهد یافت.

پ.ن.: در پاریس که بودم، فیلم مستندی راجع به عایق سازی ساختمان‌ها دیدم. با چرخ بال (هلکوپتر سابق) بر فراز بام‌ها می گشتند و با دوربین مادون قرمز فیلم برداری می کردند. ساختمان‌هایی که عایق نبودند، هاله‌ای قرمز در اطرافشان مشاهده می‌شد. بدین ترتیب به صاحبان ساختمان‌ها اخطار می دادند که هر چه زودتر ساختمان خود را عایق کنند. ساختمان های عایق، فقط در چند گوشه‌ی مختصر قرمز بودند و تفاوتشان با ساختمان‌های غیرعایق در حد غیرقابل باوری بود.

پست اول از امریکا

روزهای قبل خیلی سرم شلوغ بود. دو درسی که باید می‌دادم برای اولین بار در عمرم به زبان انگلیسی آن هم به کلاسی که بیشتر چینی هستند، اسباب کشی، کارهای اداری و دست آخر خرید وسایل خانه. روزهای بعد هم سرم به همین منوال شلوغ خواهد بود، حتی شلوغ‌تر. قرار است که سه هفته پشت سر هم پنجشنبه‌ها راجع به کارهایی که تا حالا کرده‌ام سخنرانی کنم. حالا من ماندم و کلی اسلاید آماده نشده.

به زودی باید سر مقالات نیمه تمام هم  برگردم. اگر بر و بچه‌های ایرانی آن آربر نبودند، از پس اولین روز کلاس‌ها بر نمی‌آمدم. تقریبا ۸۰٪ موفقیت امروزم را مدیون آن‌ها هستم که در مستقر شدنمان در آن آربر خیلی کمک کردند.

پست‌های بعدی عبارت خواهد بود از چند پست سفارشی که خوانندگان وبلاگ تقاضا کردند و چند پست هم راجع به کلاسم و این که ترکیب دانشجویان کلاس چقدر از نظر علمی متنوع است.

تا بعد

گوشت و پی

تلفنی با یکی از دوستان راجع به زنجیر مارکف صحبت می‌کردیم و از ماتریس انتقال P و توزیع پایای \pi (یونانی). کوچولوی شیرین زبانی از آن طرف خط گفت «همش که شد پی، هیچی گوشت نداره».

درک ما از تورم

در لابه لای اخبار می‌خوانیم: «تجار عضو اتاق بازرگانی تهران در گردهمایی نمایندگان اتاق تهران، از احتمال توقف واردات و افزایش تورم ابراز نگرانی کرده اند.» یا می خوانیم:«نتایج هدفمندی یارانه ها در بلند مدت کشور را تهدید می کند و نتایج این هدفمندی از اسفند ماه جاری به بعد نمایان می شود». و هزاران ترس دیگر از تورم. آیا واقعا تورم تنها معیاری است که باید موفقیت طرح حذف یارانه‌ها را با آن سنجید؟

درک عمومی ما از تورم پایین است و تورم را دیوی می بینیم که حیات اقتصادی ما را تهدید می کند. این درک باید عوض شود. اگر طرح حذف یارانه‌ها تورم را افزایش دهد و همزمان قدرت خرید مردم را به همان نسبت، آن وقت قاعدتا نمی تواند چیز بدی باشد. در عمل استدلال های وبلاگیون اقتصادی نشان می دهد که انتظار می رود که منابع به شکلی منطقی تر توسط مردم برای پوشش هزینه ها تخصیص گردد و به این شکل باید مطلوبیت خانوارها افزایش یابد. مثلا این پست قدیمی وبلاگ چای داغ را ببینید.

خلاصه‌ی کلام این که ارزیابی طرح‌های اقتصادی صرفا بر اساس تورم، شبیه این است که سلامت افراد را صرفا بر اساس وزنشان بسنجیم.

Martingale measure یا همان معیار ِ تسمه زیر گردن اسب!

بسیاری از متخصصین فایننس و حساب‌داری در ایران، martingale measure را به غلط معیار مارتینگل ترجمه کرده‌اند. وقتی راجع به معنی ریاضی measure و این که از کجا آمده است و چرا باید «اندازه» ترجمه شود با آن‌ها صحبت می‌کنیم، باز هم مقاومت نشان می‌دهند. اگر measure را بدون در نظر گرفتن این که از کجا آمده و چرا، مستقلا «معیار»  ترجمه می‌کنیم، چرا martingale را «تسمه زیر گردن اسب» ترجمه نکنیم و martingale measure را «معیار ِ تسمه زیر گردن اسب»!

پ.ن.: منظور از measureدر این کانتکس (فایننس) همان probability measure است که گاهی هم probability را به کار می‌برند و measure را حذف می‌کنند. دلیل آن این است که تعریف دقیق ریاضی احتمال با استفاده از measure یا اندازه (نظریه‌ی اندازه) امکان‌پذیر است. اندازه در حقیقت نوعی تعمیم مفاهیم طول و مساحت و حجم است و برای تعریف دقیق مفهوم انتگرال به کار می‌رود. معادل اندازه و انتگرال در نظریه احتمال، همان احتمال و امید ریاضی هستند.