حق نسخه‌برداری (کپی رایت)

----------------------توجه: استفاده از مطالب این وبلاگ با ذکر منبع مجاز است.

۱۳۸۹ بهمن ۱۱, دوشنبه

تعریف امید ریاضی

شاید تمامی خوانندگان این وبلاگ، تعریف امید ریاضی را حداقل در یکی از درس‌های کارشناسی خود دیده باشند. آن‌هایی که درس‌های پیشرفته‌ای نظیر نظریه‌ی احتمال یا آنالیز تصادفی گذرانده‌اند، می‌دانند که ارائه‌ی تعریفی کلی از امید ریاضی وابسته به تعریف انتگرال روی یک اندازه است و بدون آن میسر نیست. بسیاری از مفاهیم احتمال که در دروس مقدماتی ارائه می‌شود بر پایه‌ی تعریف امید ریاضی است. پس چگونه در درس‌های مقدماتی کار پیش می‌رود؟
اگر به جزوه یا کتاب درسی خود مراجعه کنید، می‌بینید که متغیر‌های تصادفی در دو سرفصل متغیرهای تصادفی گسسته و پیوسته معرفی شده است. امید ریاضی برای هر کدام از متغیر‌های تصادفی گسسته و پیوسته به طور جداگانه تعریف شده است. راستش را بخواهید خیلی ساده نیست که در یک درس مقدماتی امید ریاضی را در حالت کلی تعریف کرد. به همین دلیل است که مافیای احتمال هیچ گاه سخن از تعریف امید ریاضی متغیر تصادفی که نه گسسته باشد و نه پیوسته نمی‌کنند. دی:
این‌ها با ارائه‌ی دو تعریف ساده و شهودی برای متغیرهای تصادفی پیوسته و گسسته، همه چیز را ماست مالی می‌کنند ولی اگر در مثال‌ها و تمرینات این درس‌ها دقیق شوید، می‌بینید که مثال‌هایی وجود دارد که متغیرهای تصادفی آن‌ها نه گسسته هستند و نه پیوسته. مثلا جمع یک متغیر تصادفی پیوسته و گسسته، به کرات در مثال‌های کتب درسی ظاهر می‌شود. در این حالت، قواعد امید ریاضی به خدمت گرفته می‌شوند، بدون این که در حالت کلی ثابت شده باشند. مثلا خاصیت خطی بودن امید ریاضی را در حالت گسسته و پیوسته به طور جداگانه ثابت می‌کنند اما آن را برای متغیرهای  تصادفی دیگر هم به کار می‌برند.
یک راه پیشنهادی این است که برای برخی از این متغیرهای ناگسسته و ناپیوسته، از جمله جمع یک گسسته و یک پیوسته، امید ریاضی را با استفاده از توابع توزیع توام و توابع چگالی توام تعریف کرد. این هم یکی از راه‌های رسیدن به تعریف 
گسترده‌تری برای امید ریاضی است. اما این راه به دلیل این که مشکل چندانی را حلی نمی‌کند، توصیه نمی‌شود.
بهتر است دانشجویان، کمتر چیزهای عجق وجق ببینند ولی آگاه باشند که واقعیت فراتر از این‌هایی است که می‌بینند.

۲ نظر:

  1. وبلاگ واقعا جذابی دارید
    با اینکه وبلاگ تخصصیه ولی اونقدر جذابه که وادار میشم همیشه بهش سر بزنم
    امیدوارم هیچوقت سرتون اونقد شلوغ نشه که این وبلاگ همیشه پا بر جا باشه

    پاسخحذف
  2. برای من که مهندسی صنایع خوندم و عاضق ریاضی بودم این یه درد عمیقه هر وقت از چراهای قضایا و ایده های اثبات میپرسیدم کمتر به نتیجه میرسید....
    دانشجوها که رم میکردند و استادها هم .... خودشون نمیدونستند.... البیته من انتظار زیادی نداشتم فقط میخواستم یه سرنخ بهم بدنــــ...
    حالا شما هم اینجا اگه اینجوری پستها که میذارید در اخرش یه کتاب هم برای ادامه مطالعه معرفی کنید بسیار کارتون کامل تر خواهد بود.

    پاسخحذف