امان از تهی!

امروز سر کلاس نظریه‌ی احتمال، زنجیر مارکف درس می‌دادم. تقریبا یک ربع ساعت به پایان کلاس مانده بود که یک تعریف ارائه دادم و پشت بند آن یک مثال و از بچه‌ها خواستم که مواردی در این مثال که شامل این تعریف می‌شوند را مشخص کنند. کلاس بعد از ظهر باشد، ریاضی هم باشد، آخر کلاس هم نزدیک باشد، مدرس هم لهجه‌ی فارسی داشته باشد، دیگر کسی حوصله‌ی گوش دادن به درس را ندارد، چه برسد به جواب دادن.

خوب! بهترین کار در این شرایط این است که درس را زود بدهی تا همه بروند سر کارشان.

یاااااااااااااااااااااااااااااااااااااااا

به بچه‌ها بگویی که اگر یک مورد بگویند، کلاس پنج دقیقه زودتر تعطیل می‌شود.

خوب من هم همین کار را کردم. اول خودم دو مورد را آوردم و سپس گفتم که اگر یک مورد دیگر هم بچه‌ها بگویند پنج دقیقه زودتر تعطیل می‌شوند. کلکم کار کرد و موتور کلاس روشن شد. جواب اول رسید.

البته بعد کمی زیاده روی کردم و گفتم که اگر یکی دیگر هم بگویند، ده دقیقه زودتر تعطیل می‌شوند. آن هم گفتند. دیگر طبق محاسبات من در آن مثال، موردی نباید  می‌ماند. به همین دلیل گفتم که اگر یک مورد دیگر هم بگویند، همین الان تعطیل می‌شوند.

امان از تهی! تهی را حساب نکرده بودم. یکی از دانشجویان گفت تهی. کمی مکث کردم و گفتم: We're done for today.

ریسک و بازده

مدت‌ها بود که پستی در مورد ریاضیات مالی ننوشته بودم. امروز تصمیم گرفتم این کار را با بحثی مقدماتی در ریسک و بازده، انجام دهم.

در باور عمومی، ریسک حالتی است که اشاره به احتمال وقوع رخدادی نامطلوب دارد. در بازار مالی، ریسک به احتمال از دست دادن سرمایه دلالت دارد. بازده هم قرار است میزان سودهی یک سرمایه گذاری را نشان دهد. به دلیل اهمیت ریسک و  بازده در سرمایه‌گذاری، بشر مجبور شد این دو را کمّی کند.  

در این میان، کمّی کردن بازده، کار ساده تری از آب در آمد. تقریبا همه توافق دارند که بازده‌ی یک سرمایه‌گذاری سود آن است تقسیم بر کل مبلغ سرمایه‌گذاری شده یا چیزی در همان اطراف. طبیعی است که همه به دنبال سرمایه‌گذاری‌هایی باشند که بیشترین بازده را دارند. اما آیا سرمایه‌گذاری‌های پربازده لزوما امن هستند؟ طبیعی است که نه. مثلا  سهامی را در نظر بگیرید که قیمت آن به سرعت، رشد می‌کند ولی احتمال این که به همان سرعت هم افت کند وجود دارد. سرمایه‌گذاری در این سهام، دو رو دارد: یا سود فراوان می کنیم و خوش به حالمان، یا ضرر می‌کنیم و تقریبا اصل سرمایه‌ی خود را از دست می‌دهیم. بنابراین اگر به دنبال یک سود پایدار هستیم، هرگز نباید سراغ آن نوع سرمایه‌گذاری برویم.

برای کمّی کردن مفهوم ریسک، روش‌های زیادی به کار رفته است. مثلا واریانس بازده که اولین شاخص اندازه گیری ریسک است. البته واریانس بازده یک اشکال اساسی دارد:  واریانس، نوسانات ارزش سبد سرمایه‌ را در دو جهت سود و زیان به یک میزان، دخالت می‌دهد، حال آن که ریسک سرمایه‌گذاری به آن بخشی از نوسانات اشاره می‌کند که در جهت ضرر هستند. بنابراین واریانس یک طرفه (واریانس منفی) که تنها نوسانات منفی را دخالت می‌دهد معرفی شد که کار با آن به آسانی واریانس معمولی نیست.

واریانس و واریانس منفی هر دو اشکلات اساسی دارند و برای همین تقریبا به درد استفاده ‌های عملی نمی‌خورند. مثلا در بسیاری از مدل‌ها، واریانس نوسانات، بی‌نهایت بزرگ است. وقتی واریانس، بی نهایت بزرگ می‌شود یعنی سرمایه‌گذاری، بسیار پرخطر است! در حالی که در باور عمومی این سرمایه‌گذاری‌هااین قدر هم ریسک‌آلود نیستند. به همین علت به تدریج، روش‌های دیگری معرفی شدند ریسک سرمایه‌گذاری را بی نهایت بزرگ نشان ندهند و افرادی به بررسی خواص این اندازه‌های جدیدی ریسک پرداختند. هنوز هم مبانی نظری اندازه‌گیری ریسک جای بحث دارد.

رایج ترین شاخص اندازه‌گیری  ریسک، ارزش در خطر است. ارزش در خطر عبارت است از مقدار پولی که ممکن است در صورت وقوع یک اتفاق ناگوار نادر از دست بدهیم. مثلا فرض کنید ده میلیون تومان در سهام مخابرات، سرمایه‌گذاری کرده ایم که احتمال افت قیمت آن بسیار کم است. اما اگر همین اتفاق بد افت قیمت رخ دهد، ممکن است حداقل هفت میلیون از آن را از دست بدهیم. در حالی که همین اتفاق نادر برای سهام دیگری ممکن است منجر به از دست دادن حداقل ۳ میلیون از سرمایه شود. در این صورت ارزش در خطر سهام مخابرات از آن سهام دیگر بیشتر است و بنابراین ریسک آن بیشتر. به استفاده از کلمه‌ی «حداقل»، دقت کنید. در این جا نمی‌توانیم کرانی برای کل ضرر، غیر از کل سرمایه قرار دهیم. اما برای حداقل ضرر می‌توانیم.

در باور اهل علوم مالی با افزایش بازده سرمایه‌گذاری، ریسک آن هم باید افزایش پیدا کند. این باور مبنای نظریه‌ی کلاسیک سرمایه‌گذاری بهینه‌ی مارکویتز و نظریات مدرن‌تر پسامارکویتزی است. به بیانی ساده اندیشانه اگر سهام ۱، هم ریسک بیشتری از سهام ۲ داشته باشد و هم بازده‌ی کمتری، کسی سهام ۱ را نمی‌خرد و عملا سهام ۱ از گردونه‌ی سرمایه‌گذاری خارج می‌شود.

اما اگر ظرافت بیشتری در درک این باور به خرج دهیم، می‌بینیم که استدلال بالا چندان هم درست نیست. زیرا گاهی سهام کم بازده و پرریسک، به عنوان سوپاپ اطمینان در سبد‌ سرمایه‌گذاری، ایفای نقش می‌کند؛ به طوری که وقتی سهام پربازده‌تر و کم ریسک‌تر، دچار افت قیمت می شود، برخی از این سهام کم بازده و پر ریسک، افزایش قیمت را تجربه می‌‌کنند و ریسک کل سبد را کاهش می‌دهند. بنابراین، آن چه مهم است این است که سبدی متشکل از سهام مختلف، بیشترین بازده و کمترین ریسک را داشته باشد نه یک سهام به تنهایی.

با این حساب، هدف اصلی یافتن سبدی از سهام است که ریسک آن حداقل و بازده‌ آن حداکثر باشد که هدف غائی نظریه‌ی سرمایه‌گذاری است.

قضیه‌ی حد مرکزی

فرض کنید می‌خواهیم نتیجه‌ی یک انتخابات را پیشبینی کنیم. از افرادی مختلف که ارتباطی به هم ندارند، نظر سنجی می‌کنیم و تعداد رای‌های به نفع هر کاندیدا را در این نمونه می شماریم و از روی آن نتایج را تخمین می‌زنیم. اما از کجا معلوم که نتیجه‌ای که از این نمونه می‌گیریم به نتیجه‌ی واقعی نزدیک است؟

پیش از پاسخ به این سوال، یادآوری می کنیم که قانون اعداد بزرگ می‌گوید که اگر یک مجموعه نمونه‌ی مستقل (بی ارتباط به هم) از یک کمیت را با هم جمع کنیم، و حاصل را بر تعداد نمونه‌ها تقسیم کنیم، عدد حاصل به میانگین نمونه‌ها نزدیک است. به این شکل اگر در یک نمونه‌ی ۷۰۰ نفری، ۷۰ نفر به یک کاندیدای خاص رای دهند، درصد آرای آن کاندیدا ۱۰٪ تخمین زده می‌شود.

قضیه‌ی حد مرکزی تا حدی به این سوال جواب می‌دهد. طبق قانون اعداد بزرگ، اگر یک مجموعه نمونه‌ی مستقل (بی ارتباط به هم) از یک کمیت را با هم جمع کنیم، سپس آن را بر تعداد نمونه تقسیم کنیم، حاصل تقریبا میانگین می‌شود. اما قضیه‌ی حد مرکزی می‌گوید، تخمین حاصل همان قدر از میانگین دور است که توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس  متناسب با واریانس نمونه تقسیم بر تعداد نمونه ()، از صفر.

به عبارت دیگر، اگر دو نامزد انتخاباتی داشته باشیم و نمونه‌ی ما ۷۰۰ نفری باشد که ۷۰ نفر از آن به کاندیدای یک رای داده اند، احتمال این که یک درصد خطا داشته باشیم، یعنی درصد واقعی یک درصد از تخمین ۱۰٪ی ما فاصله داشته باشد،  تقریبا برابر صفر (دو به توان منفی بیست) است!

پ.ن.: لازم به تاکید است که تمام این محاسبات بر مبنای یک نمونه‌ی مستقل انجام شده است. اگر در نمونه‌گیری خطاهای بزرگی مرتکب شویم. تمام این نتایجی که به دست می‌آوریم از اساس غلط است. نمونه‌های تاریخی این نوع اشتباهات هم رخ داده است. یک نمونه‌ی این اشتباه نمونه‌گیری با استفاده از تلفن یا نمونه‌گیری در خیابان است. دقت در نمونه‌گیری شاید پرهزینه‌ترین بخش یک کار آماری است، هم به لحاظ عملیاتی و هم به لحاظ بررسی‌های بعدی برای تایید نتایج.

جبرخطی

جبر خطی را جدی بگیرید. همه جا رد خود را به جا می گذارد. در زنجیرهای مارکف تقریبا همه محاسبات با جبر خطی انجام می‌شود. هم چنین در روش‌های عددی برای معادلات دیفرانیسل با مشتقات جزئی، انواع و اقسام هندسه (دیفرانیسل، ریمانی، ...) و خیلی چیزهای دیگر.

هندسه را که خطی کنید می شود جبر خطی. و آنالیز را هم که خطی کنید باز هم می‌شود همان جبر خطی.

زبان جبر خطی زبان قدرتمندی است. از آن استفاده کنید تا ریاضیات را بیشتر بفهمید و بیشتر بفهمانید.

حذف یارانه‌ها و خبر تعطیلی کارخانه‌ها

این روزها در سایت‌هایی می‌خوانیم که کارخانه‌هایی به دلیل عدم قدرت پرداخت هزینه‌ی انرژی، تعطیل شده‌اند. شاید ظاهر خبر ناگوار به نظر برسد. اما در واقع خبر چندان هم بد نیست. کارخانه‌ای که با قیمت آزاد سوخت نمی‌تواند به رقابت خود در بازار ادامه دهد، طبیعی است که جای خود را به کارخانه‌ای خواهد داد که با دستگاه‌های مدرن‌تر، مصرف انرژی را بهینه می‌کند. خبر تعطیلی این کارخانه‌ها خبر خوبی است.

خبر بد بی‌کار شدن کارگران آن کارخانه‌ها است که ریشه در مشکل دیگری دارد و به حذف یارانه‌ها ارتباطی ندارد. وقتی کارخانه‌ای تعطیل می‌شود، تقاضای کالای آن کارخانه به جای دیگری منتقل می‌شود و اگر این جای دیگر، کارخانه‌ای دیگر باشد، برای افزایش تولید خود به نیروی کار احتیاج خواهد داشت. طبیعتا افرادی هم سر کار خواهند رفت. اما به شرط این که این تقاضا در داخل کشور بماند. اگر این کاهش تولید با وارادات جبران شود، بی‌کارها بی‌کار خواهند ماند.

آدرس جدید وبلاگ در سال جدید

www.arashfahim.com

تبریک سال نو

سال نو را به خوانندگان این وبلاگ در سراسر دنیا تبریک می گویم. امیدوارم که بتوانم در سال جدید سر و شکل بهتری به مطالب این وبلاگ بدهم.

اصل انحرافات بزرگ (Large deviations)

ما می دانیم وقتی که سکه‌ی سالمی را بارها پرتاب می کنیم، تعداد دفعاتی که سکه شیر می آید به تعداد پرتاب ها، به نیم میل می کند، وقتی که تعداد پرتاب‌ها به بی نهایت میل کند. اما نمی دانیم با چه سرعتی!

اصل انحرافات بزرگ جواب این سوال را می دهد که احتمال انحرافات بزرگ، خیلی خیلی سریع به صفر میل می کند. بنابراین، لازم نیست خیلی نگران انحرافات بزرگ باشیم. کافی است که صبور باشیم و سکه را به اندازه ی کافی پرتاب کنیم. همچنین، اصل انحرافات بزرگمی تواند سکه‌ی ناسالم را هم از سکه ی سالم تشخیص دهد. سکه ی نا سالم سکه ای است که احتمال شیر آمدنش و احتمال خط آمدنش با هم مساوی نباشند. وقتی سکه ی ناسالم را به دفعات زیاد پرتاب کنیم و تعداد شیر ها به تعداد کل پرتاب ها به نیم نزدیک نشود، آن وقت این سکه یقینا که نه اما محتملا نا سالم است.

این هفته دانشگاه ما، دانشگاه میشیگان در آن آربر، میزبان سیرینیواسا وارادهان ( Srinivasa Varadhan) بود که استاد انحرافات بزرگ است. وارادهان اصل انحرافات بزرگ را در قالب سه مثال، پرتاب سکه، گراف‌های تصادفی، ماتریس‌های تصادفی ارائه داد.

دوستانی که با احتمال مقدماتی آشنایی دارند، می توانند قضیه‌ی حد مرکزی را به عنوان اولین قضیه در انحرافات بزرگ در نظر بگیرند و خلاص. آن هایی که به قضیه‌ی حد مرکزی قانع نیستند و فرای آن را طلب می کنند، می توانند جزوه‌ی وارادهان را در این زمینه بخوانند. اما قبل از آن، من می توانم کمی شهود به آن ها بدهم.

در واقع اصل انحرافات بزرگ می گوید انحراف تعداد شیرها به تعداد کل پرتاب‌ها از مقدار نیم به مقدار دیگری مثل p به سرعتی نمایی exp[-np^2/2] به صفر میل می کند که در آن n تعداد پرتاب‌هاست. بنابراین این سرعت تابعی از p، یعنی میزان انحراف است. در کاربردهای دیگر هدف یافتن این تابع است که به آن تابع نرخ یا (rate function) می گوییم.

در بسیار از کاربردها این تابع راحت یافت می شود مثل پرتاب سکه. در بسیاری از کاربردهای دیگر، این تابع را باید با مشقت فراوان بدست آورد. گاهی این قدر سخت است که گریه‌ی آدم در می‌آید. در واقع همیشه می توان یک کران برای تابع نرخ ارائه کرد. اما به دست آوردن نرخ دقیق نیاز به موشکافی بیشتری دارد.

امتحان میان ترم

از هر دو کلاس امتحان میان‌ترم گرفتم. نتیجه به نظر رضایت بخش بود. میانگین امتحان یکی از کلاس‌ها ۲۶ از ۳۰ بود. کلاس دوم هنوز تصحیح نشده است اما تصادفی نگاهی به چند تا از برگه‌ها انداختم و کلا بد نبود.

یک فرق اساسی بین تدریس در اینجا و تدریس در ایران این است که در ایران می‌روی سر کلاس و درس را هر جور که خواستی می‌دهی. یک نظرخواهی پایان ترم هست که آن هم در بسیاری از دانشگاه‌ها چندان مهم نیست. در این جا درس که می دهی باید کلی مثال تهیه کنی، مثال های درست حسابی. لازم نیست که وقت کلاس را برای اثبات قضایا بگیری و همان قضایا را در امتحان بدهی. بیشتر باید مثال‌هایی حل کنی که با استفاده از قضایا حل می شوند. بنابراین تدریس کار چندان ساده‌ای نیست. کتاب‌های درسی معمولا مثال کم دارند.

نتایج امتحان میان ترم برای دانشجویان هم رضایت بخش بود. به عنوان یک استاد ناشناخته، نگرانی دانشجویان از سطح نمرات منطقی بود. امتحان میان ترم خیال‌شان را راحت کرد که نمرات بد نخواهد بود.

از تمام کسانی که با وجود محدودیت‌های اخیر از ایران به وبلاگم سر می‌زنند بسیار ممنونم. به احترام همین شما، پرچم را تا آخر بالا نگه می‌دارم تا مشت محکمی بر دهان محدودیت گذاران باشد.
به زودی به روال عادی این وبلاگ بر خواهم گشت.