حق نسخه‌برداری (کپی رایت)

----------------------توجه: استفاده از مطالب این وبلاگ با ذکر منبع مجاز است.

۱۳۸۹ اسفند ۲۷, جمعه

اصل انحرافات بزرگ (Large deviations)

ما می دانیم وقتی که سکه‌ی سالمی را بارها پرتاب می کنیم، تعداد دفعاتی که سکه شیر می آید به تعداد پرتاب ها، به نیم میل می کند، وقتی که تعداد پرتاب‌ها به بی نهایت میل کند. اما نمی دانیم با چه سرعتی!
اصل انحرافات بزرگ جواب این سوال را می دهد که احتمال انحرافات بزرگ، خیلی خیلی سریع به صفر میل می کند. بنابراین، لازم نیست خیلی نگران انحرافات بزرگ باشیم. کافی است که صبور باشیم و سکه را به اندازه ی کافی پرتاب کنیم. همچنین، اصل انحرافات بزرگمی تواند سکه‌ی ناسالم را هم از سکه ی سالم تشخیص دهد. سکه ی نا سالم سکه ای است که احتمال شیر آمدنش و احتمال خط آمدنش با هم مساوی نباشند. وقتی سکه ی ناسالم را به دفعات زیاد پرتاب کنیم و تعداد شیر ها به تعداد کل پرتاب ها به نیم نزدیک نشود، آن وقت این سکه یقینا که نه اما محتملا نا سالم است.
این هفته دانشگاه ما، دانشگاه میشیگان در آن آربر، میزبان سیرینیواسا وارادهان ( Srinivasa Varadhan) بود که استاد انحرافات بزرگ است. وارادهان اصل انحرافات بزرگ را در قالب سه مثال، پرتاب سکه، گراف‌های تصادفی، ماتریس‌های تصادفی ارائه داد.
دوستانی که با احتمال مقدماتی آشنایی دارند، می توانند قضیه‌ی حد مرکزی را به عنوان اولین قضیه در انحرافات بزرگ در نظر بگیرند و خلاص. آن هایی که به قضیه‌ی حد مرکزی قانع نیستند و فرای آن را طلب می کنند، می توانند جزوه‌ی وارادهان را در این زمینه بخوانند. اما قبل از آن، من می توانم کمی شهود به آن ها بدهم.
در واقع اصل انحرافات بزرگ می گوید انحراف تعداد شیرها به تعداد کل پرتاب‌ها از مقدار نیم به مقدار دیگری مثل p به سرعتی نمایی exp[-np^2/2] به صفر میل می کند که در آن n تعداد پرتاب‌هاست. بنابراین این سرعت تابعی از p، یعنی میزان انحراف است. در کاربردهای دیگر هدف یافتن این تابع است که به آن تابع نرخ یا (rate function) می گوییم.
در بسیار از کاربردها این تابع راحت یافت می شود مثل پرتاب سکه. در بسیاری از کاربردهای دیگر، این تابع را باید با مشقت فراوان بدست آورد. گاهی این قدر سخت است که گریه‌ی آدم در می‌آید. در واقع همیشه می توان یک کران برای تابع نرخ ارائه کرد. اما به دست آوردن نرخ دقیق نیاز به موشکافی بیشتری دارد.

۴ نظر:

  1. از اینکه در نوشته هاتون سعی می کنید یک شهود بدید خیلی برام ریاضی راضی کننده تر می شه و بیشتر دوست دارم تا به اون بپردازم.
    راستی جواب سوال منو در آوردید یا همون جواب ابلهان خاموشی است مد نظرتون بوده!؟

    پاسخحذف
  2. ممنون از اظهار لطفتون. کدوم سوال؟!

    پاسخحذف
  3. همون سوالی که احتمال اینکه یه نفری با 26 سال سن و قد 172 و وزن 60 کیلو گرم با احتساب اینکه از ریاضیات فقط 4 عمل اصلی رو بلده و 10 سال هم بیشتر وقت نداره و در ضمن باید روزی 8 ساعت هم کار کنه و به دیلائلی تازه زبون باز کرده و به اندازه یه بچه 2.5 ساله می تونه حرف بزنه،و ضریب هوشی این فرد هم معمولی است. چقدر احتمال داره که در عرض این 10 سال 90% اطلاعاتی رو که شما دارید و در این 10 سال آتی بدست می آرید رو بتونه کسب کنه؟
    ممنون میشم اگر جواب بدید.

    پاسخحذف
  4. راستی یه سوال دیگه هم برای خودم داشتم اگر لطف کنید و با کار زیادی که دارید بنده را مورد عنایت خاصه خود قرار بدهید و اگر در مورد بعد چهارم (زمان منظورم نیست) همون چیزی که یه مدت خیلی جالب در موردش بحث می کنند چیزی می دونید با قلم نافذ و نوشتار ساده قدرت درک بنده حقیر و کمی بالاتر ببرید شاید هم بنده کمی حظ علمی بردم تا الان که فقط هر چی خوندم و سخنرانی ها رو در یو تیوپ دیدم چیز زیادی نفهمیدم.

    پاسخحذف