حق نسخه‌برداری (کپی رایت)

----------------------توجه: استفاده از مطالب این وبلاگ با ذکر منبع مجاز است.

۱۳۹۲ آذر ۵, سه‌شنبه

کوتاه در مورد robust pricing

robust pricing (ترجمه‌ی مناسبی سراغ ندارم) از این جا شروع می‌شود که مدل‌های تصادفی قیمت دارایی‌های مشکلات خاص خود را دارند. مثلا در پست‌های قبلیِ این (۱، ۲، ۳ و ۴) وبلاگ در مورد اشکالات مدل بلک-شولز توضیحاتی دادم. هر مدل دیگری هم کم و بیش همین مشکلات را دارد. خصوصا در قیمت گذاری ابزار مشتقه‌ی مالی همیشه باید نگران این بود که ولاتیلیتی را اشتباه تخمین بزنیم و از مدل غلطی برای ولاتیلیتی استفاده کنیم. اولین قضیه‌ی مهم در این زمینه می گوید که اگر ولاتیلیتی مدل بیشتر از آن چه که باشد تخمین زده شود، قیمت گذاری گرچه اشتباه اما گران‌تر قیمت گذاری شده است و ناشر ورق را دچار تعهد مالی نمی کند. یکی از مهم‌ترین قضایای این بخش قضیه‌ی  Dupire است که رابطه‌ای دقیق بین ولاتیلیتی و قیمت اعلان شده‌ی اختیارات خرید و فروش موجود در بازار عرضه می کند. به بیان دقیق‌تر، در چهارچوب مدل‌های مارکفی، اگر در همه‌ی زمان‌ها انقضا (maturity) و برای همه‌ی قیمت‌های ضرب (strike price) در بازار اختیار خرید (معادلا اختیار فروش) داشته باشیم، ولاتیلیتی (مارکفی) به طور قطع قابل محاسبه است (مگر این که در بازار آربیتراژ موجود باشد). طبیعی است که اگر فقط تعداد متناهی اختیار خرید یا فروش موجود باشد، ولاتیلیتی دیگر دقیقا قابل محاسبه نیست، اما به هر حال هر چه تعداد این اختیارات در بازار بیشتر باشد، حجم مدل‌هایی که ممکن است ولاتیلیتی را توصیف کنند کمتر می ‌شود.

قضیه‌ی Dupire را می‌توان اولین تلاش در این جهت دانست که علاوه بر قیمت دارایی پایه، قیمت‌ اختیارات موجود در بازار روی دارایی پایه هم در تعیین مدل قیمت آن نقش داشته باشند. این قضیه می‌گوید اگر تعداد این اختیارات خیلی خیلی زیاد باشد، حداکثر یک مدل مارکفی باقی می‌ماند ولی آن چه که نمی گوید این است که هنوز تعداد زیادی مدل غیر مارکفی با قیمت اعلان شده اختیارات سازگار هستند و البته اگر هیچ مدلی (مارکفی یا غیر ماکفی) وجود نداشته باشد، آربیتراژ وجود دارد. اما اگر تعداد کمتری اختیار وجود داشته باشند، مدل‌های مارکفی و غیرمارکفی زیادتری هم به وجود می‌آیند که تنها وجه مشترک همه‌ی آن ها این است که قیمت دارایی پایه در همه ی این مدل‌ها مارتینگل است. با این حساب سوالات مهم این‌ها هستند:
  1. مجموعه‌ی تمام این مدل‌ها چه قیمت‌هایی را تولید می‌کنند؟
  2.  کمترین و بیشترین قیمتی که این مدل‌ها ایجاد می‌کنند چه قدر است؟
  3. با انتخاب یک مدل مارکفی مثل بلک‌-شولز حداکثر چه قدر ممکن است اشتباه کنیم؟
جواب های  سوالات ۱ و ۳ در سوال ۲ هستند. اگر بیشترین و کمترین قیمت را پیدا کنیم، تمام عددهای موجود در بین این دو توسط مدل‌های ممکن تولید می‌شوند و بیشترین خطای قیمت‌گذاری از طول این بازه فراتر نمی‌رود.

روش رایج برای جواب دادن به سوال ۲ روش دوالیتی است که بین مساله‌ی قیمت گذاری (که یک مساله‌ی برنامه ریزی خطی نامتناهی بعد است) و مساله‌ی انتقال بهینه‌ی Monge-Kantrovich تناظر برقرار می‌کند. در حالی که مساله‌ی اولیه (برنامه‌ریزی خطی نامتناهی بعد) مساله‌ی بسیار سختی است، مساله‌ی انتقال بهینه راحت‌تر است و مقدار آن کران‌های بیشترین قیمت و کمترین قیمت را می‌دهد.

چند منبع برای مطالعه:

Beiglböck, Mathias, Pierre Henry-Labordère, and Friedrich Penkner. "Model-independent bounds for option prices—a mass transport approach." Finance and Stochastics (2013): 1-25.

Hobson, David. "The Skorokhod embedding problem and model-independent bounds for option prices." Paris-Princeton Lectures on Mathematical Finance 2010. Springer Berlin Heidelberg, 2011. 267-318.

پ.ن.: من هم به زودی در این زمینه یک مقاله آماده خواهم و در arxiv به اشتراک خواهم گذاشت.

۱۳۹۲ آذر ۴, دوشنبه

مجله‌ی شفاهی

مجله‌ی شفاهی یک مجله‌ی تصویری است که توسط تعدادی از اساتید و دانشجویان دانشگاه صنعتی شریف که بیشتر آن‌ها از دوستان گرامی بنده هستند تشکیل شده است. این مجله که دانشجویان تحصیلات تکمیلی را هدف گرفته است، جلسات بحث و سخنرانی ضبط شده را با هدف افزایش دانش عمومیِ افراد در زمینه‌های گوناگون ریاضیات، در دسترس عموم قرار می‌دهد. 

ایده‌ی این مجله از نظر من فوق‌العاده است. راه انداختن یک مجله کاغذی انرژی و هزینه‌ی قابل توجهی نیاز دارد. با وجود این که فیلم‌برداری و ضبط و کارهای جنبی مربوط به وب‌سایت هم کار راحتی نیست، اما در مقایسه با مجله‌ی چاپی به مراتب کم هزینه تر است. به علاوه، شکل خودمانی سخنرانی‌ها و بحث‌ها هم در نوع خود جالب توجه است. نقطه‌ی منفی این نوع مجله این است که نه حرف‌ها  و نه نوشته‌های اسلایدها و تخته به اندازه‌ی نوشته‌های مقالات دقیق و واضح هستند. اما در عوض مطالبی بیشتری را با هزینه‌ی کمتر می‌توان در مجله‌ی شفاهی عرضه کرد.

به عنوان پیشنهاد ویدیو جلسه‌ی «اثبات مزاحمی سرسخت در ریاضیات» در شماره‌ی هفتم فروردین ۹۲ را نگاه کنید. این مزاحمت را من هم احساس کردم، مخصوصا در بخش آموزش ریاضی. با وجود این که بحث‌های این جلسه بسیار کلی هستند و تمام ریاضیات را شامل می‌شوند، اما شروع آن در بحث آموزش است. من هم دوست دارم پستی در این زمینه بنویسم. شاید به زودی!

پ.ن.: مدتها بود که می‌خواستم این وبلاگ رو پست‌بارون کنم اما دریغ از یک ربع وقت خالی! حالا که اومدم بنویسم یادم نمی‌اومد که قرار بود راجع به چی بنویسم. کلی فکر کردم تا یادم اومد!

۱۳۹۲ آبان ۱۵, چهارشنبه

من سه بار حسابان یاد گرفتم!

درست است! من سه بار حسابان یاد گرفتم:

بار اول وقتی بود که در سال‌های ۱۳۷۴-۷۵ دروس ریاضی ۱،۲ و ۳ را به عنوان دانشجوی لیسانس ریاضی دانشگاه علم صنعت گرفتم.

بار دوم وقتی بود که در دانشگاه شریف بین سال‌های ۱۳۷۹-۸۲ حل تمرین دروس ریاضی ۱ و ۲ در دانشگاه شریف بودم.

بار سوم همین الان است که درس ریاضی ۳ تدریس می‌کنم.

انگاه یادگرفتن تمام شدنی نیست!

بار اول و دوم روش‌ها و جزئیات را یاد گرفتم. بار سوم دارم یاد می‌گیرم که دانشجویان چگونه حسابان را یاد می‌گیرند.